МОУ "Погореловская СОШ
Корочанского района Белгородской области"

Дмитриева Валентина Николаевна

из опыта работы учителя математики

 

 

П  р  е  з  е  н  т  а  ц  и  я     о п ы т а
  Д м и т р и е в о й   В а л е н т и н ы   Н и к о л а е в н ы,
 учителя  высшей  квалификационной   категории  МОУ  «Погореловская   СОШ»  Корочанского  района.
«Роль   повышения   самообразования   учителя  в  системе  подготовки  к  единому   государственному   экзамену   и  государственной  итоговой  аттестации».


Система   подготовки  -  и  особенности   методики:

Введение   гуманных   аспектов.    Формирутся   опора,   предусматривающая,      овладение   опорными  знаниями   всеми   учащимися.    Для этого:

q  выделяется   и  открыто     предъявляю   участникам   учебного   процесса   обязательный  минимум;

q  показываются   «ножницы»   между  обязательным   и  повышенным   уровнями   обучения;

q  предоставляется  добровольность    в  выборе    усвоения    и    отчётности;

q  преподавание    ведётся     выше    обязательного   уровня.

       Система   подготовки     включает

знание      основных   характеристик   и   назначения заданий   КИМ   ЕГЭ   по:

q  содержанию;

q  типам    заданий;

q  уровню   сложности;

q  видам    деятельности.

       Система   подготовки  основана  на  следующих принципах:

q  Тематическом.    Выстраивание    по   спирали  от  простых (часть А)  тестовых  до  заданий  со «звёздочками»,     от  комплексных   типовых  (часть  В)    до   заданий   группы  С;

q  Логическом.     тематический   тест   выстраивается   в  логически   взаимосвязанную   систему.  Выполненный   сегодня  тест   готовит   к  правильному  выполнению  завтрашнего;

q  Тренировочном.    Когда    уже  накоплен    некоторый   запас  общих   подходов   к  основным  типам  заданий   и  есть   опыт   в их  применении,   осуществляется   переход   к  комплексным  тестам.

  Временном.   Все  тренировочные    тесты    проходят       с   жестким   ограничением   времени.

       Система   подготовки     включает

использование    базы   данных   математических  задач.

Подготовка    к   ЕГЭ   с   использованием    базы    данных    считается   принципиально  новой   основой  для   подготовки.    Проделана    большая     работа    по  созданию     базы   и   разработке  методики  её использования.   Имеются    разноуровневые   тесты   с   5-го  по  11  класс.

       Система   подготовки    включает

использование  информационных    технологий.    Это  уже  не  новшество,  а   реальность   сегодняшнего  дня.     Использование    современных   информационных  технологий    в  обучении   обеспечивает   интенсификацию  всех  уровней  учебно-воспитательного  процесса,   многоаспектное   развитие    школьников.    В  школе   есть  компьютерный   класс,  где  для   работы    используются   готовые  электронные  продукты,      составляются   самостоятельно    тестовые   задания,  применяются   ресурсы  сети  Интернет.  При  всём   этом   ближе,   удобнее   было    бы   применение    Малого  Информационного   комплекса,   находящегося    в  кабинете.   Это   позволило   бы  обеспечить   информатизацию   образовательного  процесса    без  переноса  его  в   чуждые  условия,   а  также   интеграцию  в   традиционную   собственную    методическую  палитру     новых  образовательных  технологий.   В  практике   работы  используется    проверка   домашней   работы      из      А – С     частей,   выполненной   в   электронном   виде.   Но  для  её  проверки  надо   переходить    в  другой  кабинет,  что  крайне   не  удобно.     Поэтому   и   назрела   необходимость   Малого   Информационного   Комплекса  в кабинете,    наличие  только   компьютера    на  рабочем   месте  учителя    сегодня  уже  недостаточно.

Имеются   диски,   на   которые    дети   сбрасывают домашние   работы. Выполняют   их  по      заданию  учителя,     эта    работа   планируется.    На  большом   экране  её удобно  показать   как   образец,  если  всё    выполнено   правильно,   и  корректировать   ошибки,  если  они   есть.  Выполнение  домашних  работ  в  электронном  виде    дисциплинирует   и   обязывает  к  выполнению   домашних   заданий    даже    не   совсем    обязательных  учеников.      Начинать  можно    в  любом  классе.

Образцы  нескольких   домашних    работ.  (Прил.)

       Система   подготовки    включает

повышение   квалификации.       В    2008    году       поступила   на  дистанцион- ные  заочные     краткосрочные     (с  нормативным  сроком    освоения     72  часа)  курсы   повышения    квалификации   Педагогического   университета   «Первое   сентября».  Было   предложено    5    курсов.   Среди  них    есть   и  «Система   подготовки   к   ЕГЭ    по  математике»  Ведут    его    Семёнов   Андрей   Викторович  кандидат   , педагоги -ческих    наук, доцент  кафедры    математики     Московского  инсти- тута     Открытого  образования  и  Юрченко   Евгений   Владимирович –доцент    кафедры     математики   МИОО.   Но   для   занятий    выбран  курсе   «Тригонометрия    в   школе» .     Его  ведёт   Решетников   Нико лай  Николаевич  -   кандидат    педагогических  наук,   заведующий  кафедрой  управления  образования  Академии    повышения   квали- фикации   и   профессиональной     переподготовки  работников   обра- зования   России,    один    из авторов учебников   «Алгебра     и начала    анализа»     для    10  и  11  классов  для    базового  и  профильного   уровня.    (     школа   закупила  эти  учебники  полностью).          Прежде     всего    привлекла   концепция   курса:

l         История  изучения   тригонометрии  в  школе  чрезвычайно   поучительна.   Достаточно  вспомнить,  что   в  отечественных  школах  долгое  время   существовал  отдельный  курс,   обеспеченный специализированными   учебниками  и  задачниками.   Но  постепенно  стал  утрачивать   своё  значение   как   отдельная   школьная  дисциплина,  что  выразилось  в  распределении  тригонометрического  материала     между  курсами   алгебры,   геометрии,   алгебры  и  начал  анализа.   В  последние  годы   тригонометрический  материал  стал   постепенно  «выжиматься»  из  основной  и  старшей  школы.   Одновременно   с  этим  он  традиционно   популярен   при  проведении  всевозможных  конкурсов,  олимпиад,   отбором  математически  одарённых  учащихся,   а  уж  на  ЕГЭ  он  имеет  место     «от  А - до С»,   поскольку   чрезвычайно   удобен   для  усложнения.

l  Другими  словами,   тригонометрический  материал    на  практике   всё  более  обретает   характер   селективного  инструмента  отбора.  Соответственно   возрастает  потребность  в   хорошей  организации  обучения  этому  разделу.

l  Тем  самым  анализ  учителем   возможных  подходов  к  планированию  и  организации  изучения  тригонометрии  в  школе,  распределению  материала  и  выбору  его  сложности  с  учётом  вида  школы,  пред почтений  самого  учителя  и  желаний  и  способностей  учащихся  становится  чрезвычайно  актуальным.

l  Необходимо   выполнить    две    контрольные   работы   для   промежуточной  аттестации и   итоговую  работу,  которая   носит   практический   характер:  отражает   внедрение  полу ченных   в   ходе  освоения  курса   знаний  и  навыков  в   повседневную  профессиональную   деятельность.  К  итоговой  работе   добавляется   ещё  и  акт   о  внедрении  новых   педагогических  технологий,  заверенный   администрацией   учебного   заведения или  органом   управления  образования.   Все  материалы     уже  отправлены.     Получен   отзыв   на   1-ю   контрольную   работу  и   разрешение  на  отправление  итоговой   работы.    Для  занятий     присланы     8  лекций,   с помощью  которых  удобно    общаться   с  передовыми   авторскими  методиками  «из  первых  рук»,  испытать  самые  разные  чувства  в  ожидании  отзывов  на   контрольные.

 

       При  успешном   завершении   курса    выдаётся     итоговый   документ.   Это  удостоверение  установленного  образца  о краткосрочном   повышении  квалификации,   выдаваемое   Педагогическим   университетом   «Первое  сентября»   и  отделением  педагогического  образования   факультета  гло -бальных  процессов   МГУ   им.  М.В. Ломоносова.  ( Результат   будет   известен   начиная   с   мая   месяца). В  качестве  итоговой   работы   был  проведен  урок по   теме «Тригонометрические      уравнения  и   неравенства» .

       Этот же урок     «Тригонометрические     уравнения   и   неравенства»  помещён  на  сайт   БелРИПКППС  (http ://ipkps.bsu.edu.ru)и   имеется   благодарность  методической   службы БелРИПКППС   за   предоставление   материала    на  сайт.

(приложение)

       Статья   «Тригонометрическая   пропедевтика»   отправлена   на  фестиваль педагогических   идей «Открытый   урок»   издательского  дома     «Первое   сентября».   В  настоящее   время  она   уже  проверена    и   помещена на  сайт WWW.1september.ru,      а  также   принята     в печать  в  сборник  «Учитель- учителю.    Из  опыта   работы  учителей   Белгородской   области.  Выпуск    №5, который  готовится   к   печати  (имеется   справка  ответственного   редактора  сборника ,  заведующего   кафедрой   естественно-математического  образования БелРИПКППС.  Приложение)

       Система   подготовки   включает

дополнительные    занятия   под   руководством    учителя     в  малых  группах    и   самостоятельную   работу  с  учебной  и  справочной   литературой.   Моя  роль  -  организовать  эту  работу,  дать  рекомендации  по выбору  тем  и   заданий.    Я  сама    работаю    и  детям     рекомендую    сайт        www.eqe.edu .ru.    Там   же   размещаются   аналитические   отчёты   о  результатах  ЕГЭ.

       Система   подготовки   включает

постоянное   проведение   разъяснительной  работы   среди  учащихся   и  родителей  по  проблемам   ЕГЭ  с   целью  формирования   положительной  мотивации  для  усвоения  минимума   содержания  материала   на  базовом,   повышенном   и  сложном    уровнях.   Мы  начали    снимать   моменты    подготовки  к   ЕГЭ,  а  затем   анализировать.  Детям   понравилось.   Решили    показать  на  родительском   собрании.

(приложение  3)

       Система  подготовки  включает

Проведение  репетиционных   испытаний  в  режиме,  приближенном    к   ЕГЭ      (приложение)/

Система   подготовки  включает:   работу  с  одарёнными  детьми.   Основные  направления  работы:  выявить    учащихся,  отличающихся  наиболее  глубокими  знаниями   в   области  математики,  стимулировать     их    интерес   к  изучению   математики,     предоставить   возможность   самореализации   в   соревновательной  деятельности   на   учебном  и   внеучебном    материале,   сопоставления  собственных   результатов   с   рeзультатами  других   участников

 

Из  опыта   работы  Дмитриевой  В.Н.        Участие    в районных  олимпиадах.

Год

Учитель

класс

место

Ф.И  ученика

Предмет

2005-06

Дмитриева  В.Н

Дмитриева   В.Н.

10

9

1

2

Архипова Е

Афанаськов  А.

Математика

Математика

2006-07

Дмитриева   В.Н.

 

Дмитриева  В.Н.

10

 

11

1 (10 –е место  в области)

3

Афанаськов  А

 

Архипова  Е.

Математика

 

Математика

2007-08

Дмитриева  В.Н.

11

1

Афанаськов  А.

Математика

2007-08

Дмитриева  В.Н.

10

1

Гатилов   И.

Математика

 И т о г и     е д и н о г о    г о с у д а р с  т в е н н о г о     э к з а м е н а.

Год

Учитель

Первичный   балл

%выполнения работы

Балл

Рей -тинг

Оценка по  алгеб ре

Каче

ство

Успева емость

007

Дмитриева  В.Н.

12.6

33.9

50

55.5

3.4

40

100

2008

Дмитриева  В.Н.

15,4

41,2

50,8

76,6

4

84,2

100

 

  Результаты  государственной   итоговой   аттестации     по   математике    в  9 – х классах. 

Год

Учитель

«5»

«4»

«3»

«2»

Каче

ство

Успева емость

2006

9-в

Дмитриева  В.Н.

7

9

4

-----

80%

100%

2008

9-б

Дмитриева  В.Н.

6

2

7

------

53%

100%

2008

9-в

Дмитриева В.Н.

8

6

3

-------

82%

100%

 Результаты  государственной   итоговой   аттестации     по   математике    в  9 – х классах.

Год

Учитель

«5»

«4»

«3»

«2»

Каче

ство

Успева емость

2006

9-в

Дмитриева  В.Н.

7

9

4

-----

80%

100%

2008

9-б

Дмитриева  В.Н.

6

2

7

------

53%

100%

2008

9-в

Дмитриева В.Н.

8

6

3

-------

82%

100%

П  р  и  л  о  ж  е  н  и  я 

 

 

 

ПОДГОТОВКА     к     ЕГЭ.      ТРЕНАЖЕР   10  класс.             §1.  АБСОЛЮТНАЯ   ВЕЛИЧИНА  ЧИСЛА (МОДУЛЬ).

 

ТЕОРИЯ.   Определение.  Абсолютной  величиной  числа  а (обозначается  |а|)  называется  расстояние  от точки,  изображающей   данное   число    а   на  координатной  прямой,  до  начала  отсчёта.

Из   определения   следует,  что   Заметьте,  что     знак   системы   не  обозначает  логическую  операцию.  Он  использован  лишь  для  придания  записи  компактной  формы.

 

ОСНОВНЫЕ   СВОЙСТВА  МОДУЛЯ.

 

1. |а|≥0,          2.  |а|= | - а|       3. |а|≥ а,        4. |а в|= |а||в|,    5. ,   в≠0,  6) |а +в|≤|а|+|в|,    

7. |а +в| =|а|+|в|  тогда   и  только  тогда,  когда ав≥0,          8. |а|+|в| = а + в  тогда   и   только  тогда,  когда    а ≥0,  в ≥0,      9.   |а -в| =|а|+|в|  тогда   и  только  тогда ав ≤ 0,   10. |а| - |в|  ≥0 тогда   и  только  тогда,  когда   а² - в²   ≥0. 

 

ПОЛЕЗНЫЕ   ПРАВИЛА,  СООТНОШЕНИЯ    ДЛЯ   РЕШЕНИЯ  МОДУЛЬНЫХ  УРАВНЕНИЙ,  ПРЕОБРАЗОВАНИЯ   МОДУЛЬНЫХ   ВЫРАЖЕНИЙ.

*Чтобы  раскрыть  модуль,  надо  знать  знак   выражения,  стоящего  под  модулем

**Уравнение  не  имеет  решений,  если:

*      Левая   и  правая   части  уравнений  имеют   разные   знаки,

*      Одна   часть  уравнения  неотрицательна,  а  вторая   -    неположительная.  Однако   левая  и  правая   части   обращаются   в  нуль   при   различных   значениях    х.

***        |Х| - Х ≥0,

****   Х - |Х| ≤ 0.

 

ПОЛЕЗНЫЕ   УПРАЖНЕНИЯ

 

Раскрыть   модуль:   1.|π - 3|     2. |1  - |       3. |   + |       4. | |       5. |Х²|

6. ||    7. | Х² - Х  + |      8. | Х²  +2Х  + 2|      9. | Х - |      10. | -Х² + 3Х -4|  

Решить  уравнения.

1.         | Х²   - 4Х  + 3| = -2         2.   | Х²   - 6Х   - 7| =   -2        3. |Х|= - Х²   - 1               4. |Х|= - (Х   - 2)²  

                        

5. |Х|= - |Х +1|                    6. Х²   +4|Х| +1 = 0.                   7. |Х|= -                  8.  Х|Х|= -     

                              

9. = - Х²                           10. Х²  + Х  + 1 =  - |Х|                 11. 2Х - Х²   - 1 =  |Х|     12. |Х| - Х = -1.

 

13.   |Х| - Х = 1 -           14. Х -  |Х|= |Х +1|                     15. |Х|= - Х²                       16.|Х - 2|= - ( 2 - Х  )²    

 

17. |Х - 3|= 6Х -  Х²  -9     18. |Х  + 3| +   (Х   + 3)²  =0      19. |Х  + 2| = - | Х²   - 4|     20. Х -  |Х| = Х²  

 

21.   |Х| = Х                        22.  |2Х - 3|=  2Х - 3                    23. | Х²   - 1| = 1 -  Х²  

 

24. =                      25.                                     26. = 1

 

27. |Х   -  2| = | 2 - Х|       28.

       

Домашняя работа    Дмитриев    Н.10-б

№1

Сколько корней имеет уравнение

=0

На отрезке [0;2π]

Решение

(Sin4x+cos4x)()=0

               (Sin4x+cos4x)(1 - )=0

Sin4x+cos4x=0                                              1 - =0

Введем вспомог.                                             1-=0

угол.                                                                    2-=0

=0                                    =2

cos                       нет  решений.

Sin (4x+) =0

4x+=πn

4x=

X=- +

0

     

  

Ответ: 8        

№2   Часть    В.   Подготовка   к   ЕГЭ.

Четная функция y=f(x) определена и непрерывна на R. Ее график на положительной полуоси совпадает с графиком y=(x+1)(2x-1)(2x+5)(x-4). Сколько корней имеет уравнение f(x+1)=0 на отрезке [-3.5;3.5]

Решение

Положительные корни: 0,5  и  4, т.к функция четная то добавляются -0,5 и -4

F(x+1)=0, тогда -0,5;  3;  -1,5

Ответ: 3

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                    

                        Домашняя работа по алгебре         25 ноября 2008г

                         Донецкого Романа.  Подготовка  к  ЕГЭ.

Подпись:  
 
 
 
     -4                                                     4         

 

№94.

 

В).                                                          E(y)=[-3;6]; D(y)=[-4;4];      

A(-4;0)  B(-1;0)  C(2,5;0)  D(0;-2);

F(x)>0   (-4;-1),(2,5;4); F(x)<0 (-1;2,5);

F(x)   [-4;-2],[1;4];  F(x)   [-2;1];

F(-2)=2;   F(1)=-3;  F(4)=6.

      

                                                                                                      

     Г).                                                      

                                                                 E(y)=[0;5]; D(y)=[-5;3];                 

                                                    A(3;0)  B(0;4,5)  

                                                      F(x)>0   [-5;3);

F(x)   [-3;-1]; F(x)   [-5;-3],[1;3];

F(1)=5;   F(-3)=2;  F(-5)=3.

№2.

                                        
     Ответ:         
, x=1 или  [2;+∞)U{1}.

Подготовка   к  ЕГЭ.    Часть  В.     Домашняя   работа.    10 - б класс.  18 февраля  2009г.

                  Касательная  к   графику   функции   имеет  вид:   У= кх +в.  Найти  значение   в,   если  касательная   проведена   к   кривой   У =       в  точке   с  абсциссой   Х0 = 2. Гайворонский П.

Решение.  Для  нахождения  коэффициента   к   найдём  значение  производной     y΄  при   Х0 = 2.

y΄  = ,     y΄(2) =    = .    Итак,  уравнение   касательной  примет  вид: У = х +в.    Так  как  касательная   проходит  через    точку  (Х0 ; У0 ),   найдём   У0.  У0 = Значит,  касательная    У = х +в    проходит   через  точку   (2;2).    Поэтому   2 =    +в.   8 =6 + 4в,   2 = 4в,

в = 0,5.                            Ответ:  0,5

 

 

Подготовка   к  ЕГЭ.    Часть  В.     Домашняя   работа.    10 - б класс.  18 февраля  2009г.   Курдов  С.

Подпись:        y= f ΄ (x)

 

Функция    У = f(x) определена  на

 

промежутке (-4; 5).   На  рисунке   изображен

график   её  производной.  Найдите  число

касательных   к  графику   У = f(x) ,  угловой

коэффициент  которых  равен  2.

РЕШЕНИЕ.  Искомые  касательные проводятся в  точках,   в  которых  y΄= f(x 0) = 2.  Из  рисунка  видно,  что    линии  У =2    и  y= f ΄ (x)   имеют  три  общие  точки.

Ответ:  3.

                  

  

 

 

 

 

 

В.Н.Дмитриева.  Учитель  математики    МОУ  «Погореловская   СОШ»  Корочанский  р-н.

 

Тригонометрическая   пропедевтика.

              Знакомство   с  опытом  работы  выдающихся   педагогов,  лучших  учителей  углубляет  знания  о  педагогическом  процессе,  заставляется   задуматься  над  вопросом:  что  объединяет    творцов  опыта,  что  общего  в  их  методике?  Ведь   только  это  общее,  являющееся   основным,   можно  позаимствовать,  конечно,  после  творческого   преобразования  с  учётом  личностных  особенностей,   условий  работы,  конкретных  детей.     Давно   интересуюсь  опытом   мастеров  опережающего   обучения,   которые  умеют,  говоря  образно,   обучая  «на  копейку,  развивать  на рубль»,  чем  обеспечивают  надёжную  базу    для   интенсивного    обучения   новому  в   ближайшем  будущем.

          Общеобразовательная   роль  тригонометрии   очень  важна.  Материал   должен  изучаться  индуктивно - от  тригонометрии   острого  угла   к  тригонометрии  любого  угла   и  затем  к  тригонометрическим   функциям   действительного  аргумента.   Полноценное   изучение  тригонометрии   требует  достаточно  большого   объёма  времени.  В  общеобразовательной   школе  в  силу   целого  ряда    причин  времени  вообще   катастрофически  не  хватает  и  на  тригонометрию  в  частности.  В  методической  литературе   всё  чаще   и  настойчивее  звучат  голоса   в  пользу   более  раннего   знакомства  детей    с  единичной    окружностью.   Мне  близка  и  понятна  система  работы    в этом  направлении       Г.Д.Герасимовой,    изложенная  в  статье   «Как  важно  работать  «на  перспективу»»,  №3  журнал  «Математика  в  школе»   за  2008год,

  Э.С.Беляевой   «Единичная  окружность  в   подготовительном   курсе    тригонометрии»,   журнал   №8   «Математика  в  школе»  за  2000год  и Н.А.Иванчук   и  Н.А.Резник   «Синус,  косинус,  тангенс  и  котангенс  острого  угла»,   журнал   №8   «Математика  в  школе»  за  2003год.

             Мой   многолетний    опыт  преподавания  в  школе  показывает,   что  должна   предшествовать  отдалённая   по  времени   отработка   решений  простейших   тригонометрических  уравнений  и  неравенств.  Это  полезно  не  только  в  общеобразовательном  плане,   но  и  для   облегчения  нагрузки   на  наши   общеобразовательные  10-е  и  11-е классы.  

            Тема  «Координатная  плоскость»  в   6-м    классе   невелика.  У  детей  среднего  возраста   она  неизменно    вызывает  интерес.    Они    не  только  с   удовольствием   изображают отдельные   объекты    и  даже  целые     сюжеты  по  заданным   координатам,  но  и  самостоятельно   составляют  их,   определяя  координаты  узловых  точек.   Несмотря   на  привлекательность   таких  заданий,   дидактическая  цель    остаётся  неизменной: определять  координаты   точек,  заданных  на  плоскости,  и  уметь  строить  точки  по  их  координатам.   Педагогический  опыт  показывает,   что,     вкрапливая   в  эту  тему   другие  задания,  можно  использовать  и  иные   дидактические  их  возможности.  

         В  учебнике   встречаются  задания    на   нахождение   координат  точки   пересечения   окружности   произвольного   радиуса   с   осями   координат.  Таким  упражнениям   всегда  уделяю  особое  внимание.   Умение  их  выполнять  считаю,  наряду  со  знанием  порядка  записи  координат,  одним   из   основных  результатов  знакомства  учащихся   с  координатной   плоскостью.   Именно   они  дают   хорошую   возможность   поработать   «на  перспективу». Здесь  нужен    не  просто   результат.   а   высокий    результат.   Чтобы  его  добиться,  с  опорой   на  наглядность,  вместе  с  учениками    конструируем   мнемоническое   правило:

·         абсцисса   равна   нулю  у  точек,  которые  расположены  на  оси   ординат;

·          ордината  равна  нулю   у  точек,  расположенных   на  оси  абсцисс,

а  затем      каждый    ученик      его      раскрывает.    На  этом   первый   этап  завершен.

              Второй  этап  начинается   с   введения    окружности  единичного  радиуса    в  координатную   плоскость.    С  опорой   на  ранее   изученное   правило  конструируем  новое,   теперь  уже   для  окружности    единичного  радиуса:

·         точка  справа  имеет  самую   большую  абсциссу,  равную  единице,  и  ординату, равную   нулю;

·         точка  слева  имеет  самую  маленькую  абсциссу,  равную  минус  единице,  и  ординату  равную   нулю;

·         точка  вверху   имеет  самую  большую   ординату,  равную  единице,  и абсциссу равную  нулю;

·         точка  внизу  имеет самую маленькую     ординату,  равную   минус  единице,  и  абсциссу  равную  нулю;

·         абсцисса  равна  нулю   у  точек,  которые  расположены  на  оси  ординат (вертикальная  ось);

·         ордината  равна  нулю   у  точек,  расположенных   на  оси  абсцисс(горизонтальная  ось).

 Этап  считаю  завершенным,  если   вижу    свободное  владение   окружностью  единичного  радиуса,    находящейся  в  координатной   плоскости,   каждым.

         На   следующем  этапе    продолжаем     работать   с  единичной  окружностью  (рис.1)   Отметив       точки,    с  помощью   цветных  карандашей в  тетрадях,   мелков  на   доске,  разноцветных  магнитных  полосок    на  магнитной  доске   медленно,   шаг  за  шагом,    отмечаем,  выделяем,  измеряем    абсциссы  и   ординаты  точек  А, В,  С, Д,  М, К,  Р  окружности,   устанавливаем  взаимное  расположение  элементов,  анализируем  длины  отрезков   геометрически,  выясняем  в  каких  координатных  четвертях  находятся   эти  точки,   определяем  четверть,  в  которой  абсцисса(ордината)  точки  принимает  отрицательное  или положительное   значения.

                                                       У   (0;1)   В

Овал:  
 
 
                              0
                                              А                  

                                                                                                    С

  


 

                                                                                                                 Д

  

 

 


 

           (-1;0)                                                                                                  х

                                                                                                                      (1;0)

 


 

                       

 

  

 


 

                                                                                                          М 

                                  Р

                                                                    

                                                              (0;-1) К          

Рис.1

              Цель    таких  заданий    не  только   в  осознании   мнемонического  правила,    порядка записи   координат    точек  плоскости,   их  названий,  значений,  но  и   хорошая   возможность   развития  вычислительных  навыков  с  десятичными  дробями,  положительными  и  отрицательными   числами.  Создаётся   ситуация,   когда      учащиеся   могут,   путём   вычисления   суммы  квадратов   абсциссы   и  ординаты   точки   единичной  окружности (на  миллиметровой  бумаге удобнее) не  только  применить  округление  чисел, использовать  микрокалькулятор,  но   и   «приблизиться»  к  основному  тригонометрическому   тождеству,  то  есть   готовить  себя   к  изучению  систематического  курса   алгебры  и  геометрии.  

       Убедившись,     что   у  учащихся   хорошо   отработаны  навыки  оперирования  с  единичной  окружностью,     перехожу     на   новый  уровень.     В   VI     классе     ученикам     уже   предлагаются    задания   на   построение  и  чтение     графиков,   выражающие  зависимость   между   различными  величинами.   Им   также    известно,   что  длина  окружности   радиуса  R   равна     2πR,   где  π ≈ 3,14.      Выясняем,  что  если   R=1,  длина  окружности  равна   2π  и  охватывает   она   четыре   угла  по  90°    и   что   по  окружности  можно   двигаться   как  по  часовой   стрелке,   так  и  против.  Тогда   развёрнутый  угол    выразится   числом   π,     прямой угол   числом         и  т.д.      Кроме   построения   графиков   на  зависимость   температуры   от  времени  суток   и  т.д.,    предлагаю   строить  график   зависимости    абсцисс  (ординат)  от  положения   точки    на   единичной  окружности.   Несколько   характерных  точек   сразу  наносим  на  график.    Для   ординат  это: (0;0),  ,   (π;0)  (),  (2π;0)  ,   (-π;0)  (),  (-2π;0).   Дополнительные   точки    «считываем»   с  окружности.  Так,  точка  за  точкой   появляется   аккуратная   синусоида  (рис. 2)  Аналогично  поступаем   с  абсциссами.

Подпись:                                                                                У  1
                                                                                  0     1  0,5π         π                        2π                             х      
                                                                                                                                                                              
 
 

  

 

 

 

 

 


 

                                   Рис.2.

                              Познавательной       деятельности  учащихся  можно  придать    большую  привлекательность,  если  в   работе  использовать  компьютер.  Но  при  всём  при  этом  надо  помнить,  что   шестые  классы   в  силу  возраста   по  своей  природе  буферные.  Перегрузка  в  этом  возрасте  особенно  недопустима.  Поэтому    всё  должно  происходить  осторожно,  не  в  ущерб  делу,   в  зависимости  от  подбора  детей.

       Предлагаемые   фрагменты   опыта  работы  могут  служить  одним  из  средств  пропедевтического   преподавания.  При  всей  кажущейся  нестрогости     изложения  описанные   понятия  появляются   в   продуманной   последовательности.  Их  образы   соответствуют  определениям    и  складываются  в  системную    картинку.  Как  показывает  многолетний  опыт  работы,  элементы  пропедевтического   курса   тригонометрии,  ранний     подход   и  такая    организация  изучения   позволяют  эту  тему   из  разряда  сложных  сделать  одной  из  самых   любимых  для  учеников,   усиливают  прочность  усвоения  детьми    учебного  материала,  повышают  качество  знаний    школьников.   Это   подтверждают  в  частности  результаты   единого  государственного  экзамена  по  математике.   В  2008  году  при  успеваемости   100 процентов   качество  знаний  составило    84  процента.  

 

Тригонометрические   уравнения   и  неравенства.

          МОУ»Погореловская   СОШ» Корочанский   район.        Дмитриева   Валентина   Николаевна,    учитель   математики.

         Алгебру   и  начала   анализа   в  10-м   классе     изучаем   на  профильном   уровне   по    учебнику   А.Н.Колмогорова  и  Н.С.   Никольского. Усвоение   основных  идей,  положений   и   овладение   основными   приёмами   решения   тригонометрических   уравнений   и  неравенств,  изложенными    в  курсе   лекций  Н.Н. Решетникова  (обучаюсь   на   дистанционных  курсах  повышения   квалификации    Педагогического  университета  «Первое  сентября»)  помогли  распределить  материал,   организовать   изучение  тригонометрии   в   целом   и   темы   «Тригонометрические     уравнения  и  неравенства»   в  частности    в   соответствии   с  принципом   «от  простого  к  сложному»,    с  опорой  на  методы  их  решения.

 

          Тема  урока:   Замена  неизвестного при  решении   тригонометрических     уравнений   и  неравенств.

Цели   урока:

·         Образовательная -  организовать   деятельность   учащихся   на  восприятие,   осознание    замены   t = sinx + cosxt = sinx  - cosx   при  решении   тригонометрических   уравнений   и   неравенств.

·         Развивающая - способствовать формированию умений  классифицировать   тригонометрические   уравнения    и  неравенства  по   методу    их   решений,   научить    применять  этот   метод  при   решении.

·         Воспитательная   -  содействовать    пониманию  значимости  этого   урока  на  завершающем  этапе   линии   простейших  тригонометрических  уравнений и  неравенств,   воспитание чувства  коллективизма,  ответственности,   самоконтроля.

Задачи  урока:  способствовать  прочному,    неформальному  усвоению  метода    замены   t = sinx + cosx    или     t = sinx  - cosx    при   решении   тригонометрических   уравнений  и  неравенств,   содержащих   разные   функции   одинаковых   аргументов,  имеющих   комбинацию  sinx + cosx sinx  - cosx   и     sinxcosx .   

Тип  урока:

·         урок  - практикум.

Форма  урока :

·         индивидуальная;

·         практическая   работа  в  парах;

·         фронтальная;

·         самопроверка.

Оборудование  урока:  

·         ксерокопии   пунктов  11.8*   и  11.9*    учебника  [1].  (В настоящий  момент    школа  приобрела    учебники:   Никольский  С.М,   Потапов  М.К.,  Решетников  Н.Н.,  Шевкин  А.В.   Алгебра   и  начала  анализа:  Учебник  для  10  класса  общеобразовательных  учреждений. - М: Просвещение,   2008.   Никольский  С.М,   Потапов  М.К.,  Решетников  Н.Н.,  Шевкин  А.В.   Алгебра   и  начала  анализа:  Учебник  для  11 класса  общеобразовательных  учреждений. - М: Просвещение, 2008 );

·         Инструкция  для  выполнения   работы;

·         Задания   для  выполнения  графического  диктанта;

 

План  урока: ( уроки  спаренные)

1.      Организационный   момент.

2.      Актуализация   опорных  знаний,  проверка  домашней  работы.

3.      Сообщение   темы,  цели  и  задач  практикума. Мотивация   учебной  деятельности.

4.      Ознакомления   учащихся  с    картой- инструкцией  урока - практикума.

5.      Выполнение   работы (при  необходимости  учитель  оказывает  помощь).

6.      Составление    отчёта.

7.      Обсуждение  и  теоретическая  интерпретация    полученных  результатов.

8.      Проверочная  работа.

9.      Анализ  проверочной   работы  и  освоенности  материала  по  теме  урока    (самопроверка)

10.   Задание  на дом.

11.  Итог   урока.  Рефлексия.

Ход  урока.

              Учитель:  Мы  завершаем изучение  столь  актуальной,  широко  представленной  на  едином    государственном   экзамене   в  частях  А, В и  С  темы: «Решение  тригонометрических  уравнений  и  неравенств».  На   прошлом  уроке  мы  рассмотрели    один  из  специальных  приёмов  решения  уравнений  и    неравенств  (учащиеся    должны  назвать   метод   введения  вспомогательного  угла  при   решении  уравнений  вида   Аsinx  + Bcosx = C,  где  А, В,  С - данные   числа   и  АВ≠0 )   .

             Как   овладели  этим  приёмом ,  нам   покажут…   (пять   учеников  работают  у  доски,  выполняя   задания из   домашней   работы.    Одновременно    у   доски  могут  работать  10   человек).

1 ученик    решает  № 11.48 (а)   (учебник   [ 1] ) .

 sinx  + cosx =  .

Решение. Применим    метод   вспомогательного    угла.  Разделим   обе  части  уравнения   sinx  + cosx =     на  число  .

Уравнение  примет   вид                .

Так  как        =     и    =  ,   последнее  уравнение   запишем   в  виде отсюда    

                                                          Ответ:

 

2 ученик     решает   № 11.52 (е)   (учебник   [ 1] ).

sinx  -    cosx  < -1.   

Решение. Применим    метод   вспомогательного    угла. Разделим   обе части  данного неравенства   на  число   = 2.  Неравенство   запишется   в  виде    < -.

Так  как        =     и    =  ,   то  последнее  неравенство  перепишется  в  виде 

                          < -,          + 2πn   <     <  + 2πn ,       

                                    Ответ:              + 2πn   <     <  + 2πn ,       

3 ученик    решает    № 11.50 (а)   (учебник   [ 1] ).

    4sinx    -  5cosx  = 2.

Решение. Применим    метод   вспомогательного    угла.  Разделим   обе  части  уравнения  4sinx    -  5cosx  = 2  на  число  .

Уравнение  примет   вид                .              (1)

Так  как ( )2       +( )2    = 1,  то  подберём    такой   угол    α,    что  α =

Уравнение   (1) перепишем  в  виде    =  .   Отсюда  

  = arcsin   + 2πn ,      + arcsin   + 2πn , 

 arcsin     + arcsin   + 2πn , 

 

  = π  - arcsin   + 2πк     - arcsin   +    + 2πк

  - arcsin     + arcsin    + 2πк  

ответ: arcsin     + arcsin   + 2πn ,          - arcsin     + arcsin    + 2πк     

4 ученик  решает   задание  №8.4.  [3].        8cosx   +  15sinx   = 17.

Решение. Применим    метод   вспомогательного    угла.  Разделим   обе  части  уравнения  8cosx   +  15sinx   = 17  на  число  .  В  результате  получим  уравнение  .         Так  как   числа        и     удовлетворяют  условиям                2      +   2      =  1,  то  существует  такой  угол  α = ,   а  .  Уравнение   запишем  в  виде     +  α .  Отсюда 

   = 1,     =    +  2πк ,        +    +  2πк ,    

Х =  arcsin  +  2πк ,    

Ответ:   Х =  arcsin  +  2πк ,    

5-ученик  решает     из   дополнительного  домашнего задания   [ 2 ] Определить    все   значения    а,  при  каждом   из  которых    имеет   хотя  бы  одно  решение    неравенство      5 cosx   ≤ а.

Решение .   Разделим  обе  части   неравенства   5 cosx   ≤ а   на   число        неравенство      +   ,  равносильное    данному.       Так  как   числа        и     удовлетворяют  условиям                2      +   2      =  1,  то  существует  такой  угол  что  α =    и   .     Перепишем  последнее  неравенство   в  виде      .  Последнее   неравенство,  а  значит  и  неравенство ,  данное  в  условии   имеет  хотя  бы  одно  решение   при  каждом  а   таком,  что     ≥ - 1,    то  есть   при  каждом   а ≥ - 13.

Ответ.  а ≥ - 13.

              Класс    в  это   время   выполняет   графический  диктант(  ----- да,  ^   нет).   Задания  распечатаны на  каждого   ученика).      Два    ученика  работают   за  отворотом    доски.   С  помощью   диктанта  проверим  умение     классифицировать  тригонометрические    уравнения   по  методам    решения,  решать  простейшие  тригонометрические   уравнения и  неравенства:

1).уравнение  вида   Аsinx  + Bcosx = C,  где  А, В,  С - данные   числа   и  АВ≠0   решается  методом   введения   вспомогательного  угла,                                                              

   

3).при   а < -1    неравенство     sinx > а         не   имеет    решений                                       4).уравнения,   содержащие   чётную    степень  sin  или    cos,  решаются  выражением     sin   через  cos   или    cos      через    sin ,                                                                                 

5). простейшие    тригонометрические   уравнения     удобно  решать   с   помощью  единичной      окружности,                                                                                                    

6).при   а < -1    неравенство    cos x > а         не   имеет    решений                                    

7).при   любом   а є R  множество  всех   решений  неравенства  tgx<a  есть   серия  интервалов    ,   ,                                                                       

8).при   любом   а є R  множество  всех   решений  неравенства  сtgx<a  есть   серия  интервалов    ,   ,                                                                                 

9).уравнения,    приводящиеся   к   однородному,   решаются  тригонометрическим  разложением   единицы,                                                                                                      

10.уравнение    sinx  + cosx =0    равносильно   уравнению   tgx +1  = 0,                        

11).при  решении  дробно-рациональных  тригонометрических   уравнений  необходимо  исключить  корни  знаменателя,                                                              

12).при   а > 1    неравенство    cos x < а         не   имеет    решений                                     

Ключ  для  проверки:  ---- ^ ^----   ----- ^   ---- ^ ----  -----   ----- ^

Изучение   нового  материала.

             После    проверки   графического   диктанта   и   заданий  из  домашней  работы (самопроверка)  работаем    по  карте -  инструкции:  (имеется   у  каждого  ученика)

  проанализировать   данные    уравнения   и   неравенства    и  …

 1). sinx  + cosx  + 4 sinx cosx  =1 

2)   sinx  + cosx  = 0  

 3). сos2 x  - 2,5  cosx  +1  < 0      

4). sinx  + cosx  +  2sinx cosx  <1

 5). cosx - sinx = 0

6). cosx - sinx = 1 - sin 2x

7).  3 sin 2 x  -  5 sinx  cosx   + 2 сos2 x  = 0

8). № 11.56 (а) (учебник  [ 1]) 2sinx cosx  + sinx  + cosx   = 1

 9).   5sinx  + cosx =0

10). № 11.57  (учебник  [ 1])   Sin 2x  - 3 sinx - 3 cosx =

 11).    3 sinx  = 2 сos2

12). №11. 58*  (учебник  [ 1])    sin 3 x  + сos3 x  = Sin 2x  +1.

 13).  Sin 5x  cos3x   = Sin 3x  cos5x  

14). №11. 59 * (учебник  [ 1])       Sin 2x  -   3 sinx   - 3 cosx  + 3 < 0

15). 12 sinx + 5 cosx = -13

16). Sin2x  cosx    - 3 sin 2 x  =0

  выбрать   решаемые:

        а) делением  cosx ≠  0                                                                                - 2, 5,  9,

        б)сведением к  простейшим  заменой   неизвестного                        - 3,

        в) делением на сos2x ≠  0                                                                             - 7,

        г)применением основного  тригонометрического тождества          -11

       д)применением  формул    сложения                                                       -13

       е)понижением   степени     уравнения                                                     -16

       ж) введением   вспомогательного   угла                                                  -15

отобрать: 

       з) уравнения, неравенства,  для   решения  которых  требуются,  так  называемые,   специальные   приёмы                                                            -15                                                                                                                                                                                                                                                                    

      и)  уравнения  и  неравенства,   которые     не  попали   под   описание  и  мы    ещё такие   не  решали                                                               1,4,6,8,10,12,14.

Учитель:   с  методом    решения   уравнений  такого типа   нам  надо   познакомиться, отработать   его.  Для  этого   продолжаем  работать   с  инструкций,  последовательно  отвечая  на  содержащиеся   в  ней  вопросы.      Сначала    попытайтесь   ответить   самостоятельно,  а  затем  обратитесь   к  пункту  11.9*  учебника [ 1].  Работаем   в  парах.  Желаю  успеха! 

к) определить  тип   уравнения,   выяснив   одинаковые   или  разные     функции   и  аргументы  во  всех  заданиях                           разные  функции   разных  аргументов

л)выявите   две  комбинации    функций   этих   заданий     sinx  ± cosx ,      sinx  ∙ cosx

м)  освоить     метод  решения    уравнений  такого  типа:    замену         t = sinx + cosx    или     t = sinx  - cosx

н) сам по себе  метод  «замены»  не  нов.  Но  как   быть  с  комбинацией    sinx  ∙ cosx?

О) обязательно,  научиться    каждому,   находить    выход    из   комбинации           2 sinx  ∙ cosx         на          t 2  - 1. 

У  доски  рассмотреть: 2 sinx cosx  = (sin 2 x  +2 sinx cosx  + сos2 x   -1)= (sinx  + cosx)2 - 1=  t2-1.

           В  ходе  фронтальной   работы     идёт  отчёт   о     выполнении    практической   работы   (самопроверка). 

           Необходимо  вернуться  и  уже  более  чётко  и  точно  сформулировать  тему,  цели и   задачи  урока.

       После  разбора   по   учебнику  [ 1]   решений   примеров   1 - 3,  решить  на  доске  и  в  тетрадях  №11.57 (а)    и    №11.59 (а)   ( учебник  [ 1]),      Работа    у  доски  и  в  тетрадях:

№11.57(а). Решить  уравнение   Sin 2x  +   3 sinx    +   3cosx .

Решение. 4 sin2x  + 12 sinx  +  12 cosx =  3,     8 sinx cosx  + 12 sinx  +  12 cosx =  3,

8 sinx cosx  + 12( sinx  + cosx )=  3.

Введём  новое  неизвестное   sinx  + cosx = t.   При  этом  8 sinx cosx  =

 4∙2 sinx cosx  = 4(sin 2 x  +2 sinx cosx  + сos2 x   -1)= 4((sinx  + cosx)2 - 1)= 4(t2-1). Данное в  условии   уравнение   превращается   в  квадратное  уравнение  с  неизвестным  t:     4t2  -  4 +12 t =3,     4t2  +12 t - 7 =0.   Корни  этого  уравнения    и  - -,  значит  множество   всех  решений  данного  в  условии  уравнения  есть   объединение   множеств   всех   решений двух   уравнений:

sinx  + cosx =          и  sinx  + cosx =  - .

Так  как   1,   то   уравнение   sinx  + cosx =  -    не  имеет  решений.

Уравнение   sinx  + cosx     решаем  введением   вспомогательного  угла.  Разделим   обе  части   этого  уравнения   на  число  и  перепишем  его  в  виде    sinx  + cosx = .  Так  как  =   и    = sin, то  полученное   уравнение  можно  записать  в  виде  

  .   Все  решения   этого  уравнения  задаются  формулами

          х n +   =   arcsin + 2πn ,    х n  = -   +  arcsin + 2πn , 

     и      х к + = π + 2πк ,       откуда   х к  =   -  arcsin  + 2πк ,     

    ответ.     -   +  arcsin + 2πn ,            -  arcsin  + 2πк ,     

 

№11.59*(а). Решить  неравенство

Sin 2x  -    3 sinx    -   3cosx + 3 < 0.

Решение.  Перепишем   неравенство  Sin 2x  -    3 sinx    -   3cosx + 3 <0    в  виде

Sin 2x  -  3 (sinx     + cosx )  + 3 < 0.   Введём  новое  неизвестное   sinx  + cosx = t.   При  этом     Sin 2x  =  2 sinx cosx  = (sin 2 x  +2 sinx cosx  + сos2 x   -1)= (sinx  + cosx)2 - 1= t2-1. 

   Данное   в  условии  неравенство  превратится   в  квадратное    с  неизвестным  t:

t2  - 3 t  + 2 < 0.

Все  решения  этого  неравенства  есть   все   t  из  промежутка     1 <  t< 2.

Решим  двойное   неравенство

1 < sinx    + cosx < 2.

После   введения  вспомогательного  угла   последнее  неравенство  запишется   в  виде                          1 <   < 2.

                                     + 2πn   <        <      + 2πn,     

2πn   <      + 2πn,    .

                                           Ответ.  .

Самостоятельная   работа (решение   в  тетради, а ответы   вносятся  в таблицу)

1        вариант.

Решить   уравнение

1. cosx   = -1

2.  sinx   -  cosx  + 4 sinx cosx  =  -1

Решить   неравенство

3.  Sin 2x  +   3 sinx   - 3 cosx  > 3

4. Определить    все   значения    а,  при  каждом   из  которых    имеет   хотя  бы  одно  решение    неравенство    4  3 cosx   ≤ а.

Дополнительно  №11.58* (а)

5.      Решить    уравнение      sin 3 x  + сos3 x  = Sin 2x  +1.

2  вариант.

Решить   уравнение

1. cosx   = -1

2.  sinx   -  cosx  + 4 sinx cosx  =  -1

Решить   неравенство

3.  Sin 2x  +   3 sinx   - 3 cosx  > 3

4. Определить    все   значения    а,  при  каждом   из  которых    имеет   хотя  бы  одно  решение    неравенство    3  4 cosx   ≤ а 

Дополнительно  №11.58* (б)   

5.  Решить    уравнение      sin 3 x  - сos3 x  = Sin 2x  - 1.

Домашнее   задание :п.11.9   устно  № 11.55,

 решить  №11.56(в,г),   №11.57 (в,г),

 дополнительно   №11.59*(в,г)

Подводя  итог  урока,  учитель  говорит  о  том,  первый   этап,   на  котором осваиваются   приёмы  решения   только  простейших  тригонометрических   уравнений   и  неравенств  и  сводимых  к  ним  завершён.   Все научились   решать  простейшие   уравнения  и  неравенства,  уравнения,  приводящие   к простейшим  с помощью  разложения  на  множители,  замены  аргумента  тригонометрической  функции.    Также  освоили метод    решения   уравнения,  сводящегося  к  квадратным,    однородных  уравнений.  Овладели двумя  специальными  приёмами  решения  тригонометрических   уравнений:   введение вспомогательного угла  и  замены   t = sinx  + cosxtsinx  - cosx .  Этим  ограничивается    список  типов  тригонометрических  уравнений  и  приёмов  их  решения    для  изучающих  алгебру  и  начала  анализа  на  профильном  уровне.   Следующий   этап   формирования  умения  решать  тригонометрические  уравнения  и  неравенства  заключается  в   обучении  использованию  неравносильных  переходов  и  нестандартных  приёмов  решения.

Учитель  предлагает:

·         проверить  ещё  раз правильность  заполнения    листа   самоконтроля,

·         выразить  своё  отношение   к   теме   урока   и  ходу  урока,

·         указать  необходимость  дополнительного  занятия,

·         отметить  в  %   насколько  вы  считаете,   что   знание,  хорошее  владение   специальными   приёмами,  специальный  взгляд  на  проблемы   в  самых  различных   областях  человеческой  деятельности   часто  приводят  к  успеху.

·         сдать  работы(листы)

Выполнить  проверку  самостоятельной   работы (решение  демонстрируется  на   экране,  если  урок  проходит  в  кабинете  информатики,  можно  раздать  распечатку  решений ).

После  проверки  тетради  тоже   собираю   для  проверки.

С п а с и б о  з а  у р о к!

Литература.

1. Никольский С.М.,  Потапов  С.М.,  Решетников  Н.Н., Шевкин А.В.  Алгебра  и  начала  анализа: Учебник  для  10 класса  общеобразовательных  учреждений. - М.: Просвещение,  2008.

       2.  Потапов  М.К.,  Шевкин  А.В.  Алгебра  и  начала  анализа:  дидактические  материалы  для  10  класса.  - М.: Просвещение,  2005).

  3.Учебное  пособие  для  поступающих   в  Белгородский  государственный технологический университет им В.Г.Шухова.// А.В.Борзенков.  Белгород.   2007     

 

                                                                            

Карта- инструкция  урока - практикума.                                       Фамилия. Имя.

I. Графический  диктант(  ----- да,  ^   нет).

1)       уравнение  вида   Аsinx  + Bcosx = C,  где  А, В,  С - данные   числа   и  АВ≠0   решается  методом   введения   вспомогательного  угла,                                                              

2)          

3)       при   а < -1    неравенство     sinx > а         не   имеет    решений                                       уравнения,   содержащие   чётную    степень  sin  или    cos,  решаются  выражением     sin   через  cos   или    cos      через    sin ,                                                                                 

4)        простейшие    тригонометрические   уравнения     удобно  решать   с   помощью  единичной      окружности,                                                                                                    

5)       при   а < -1    неравенство    cos x > а         не   имеет    решений                                    

6)       при   любом   а є R  множество  всех   решений  неравенства  tgx<a  есть   серия  интервалов    ,   ,                                                                      

7)       при   любом   а є R  множество  всех   решений  неравенства  сtgx<a  есть   серия  интервалов    ,   ,                                                                                  

8)       уравнения,    приводящиеся   к   однородному,   решаются  тригонометрическим  разложением   единицы,                                                                                                     

9)       уравнение    sinx  + cosx =0    равносильно   уравнению   tgx +1  = 0,                        

10)   при  решении  дробно-рациональных  тригонометрических   уравнений  необходимо  исключить  корни  знаменателя,                                                              

11)   при   а > 1    неравенство    cos x < а         не   имеет    решений                                    

 

Ключ     проверки    графического  диктанта.                                                                  ____________________________________________________________________________

Результаты    проверки        домашней          работы .

 

№   задания

1

2

3

4

5

±

 

 

 

 

 

Изучение   нового  материала.

  а)  актуализация   базовых  знаний

             После    проверки   графического   диктанта   и   заданий  из  домашней  работы (самопроверка)  работаем    по  карте -  инструкции:  (имеется   у  каждого  ученика)

  проанализировать   данные    уравнения   и   неравенства    

 1) sinx  + cosx  + 4 sinx cosx  =1.                   2) sinx  + cosx  = 0.                             3) сos2 x  - 2,5  cosx  +1  < 0 .

4). sinx  + cosx  +  2sinx cosx  <1                    5). cosx - sinx = 0                                6). cosx - sinx = 1 - sin 2x           

7).  3 sin 2 x  -  5 sinx  cosx   + 2 сos2 x  = 0    8). 2sinx cosx  + sinx  + cosx   = 1    9).   5sinx  + cosx =0

10). Sin 2x  - 3 sinx - 3 cosx =                       11). 3 sinx  = 2 сos2 x                     

12). sin 3 x  + сos3 x  = Sin 2x  +1.                   13). Sin 5x  cos3x   = Sin 3x  cos5x  

14). Sin 2x  -   3 sinx   - 3 cosx  + 3 < 0           15). 12 sinx + 5 cosx = -13             16). Sin2x  cosx    - 3 sin 2 x  =0

 

  Выбрать   решаемые:                                                                              Запиши  порядковые   номера уравнений

        а) делением  cosx ≠  0                                                                               ____________________________

        б)сведением к  простейшим  заменой   неизвестного                    ____________________________                         

        в) делением на сos2x ≠  0                                                                         ____________________________                                                            

        г)применением основного  тригонометрического тождества     ____________________________    

       д)применением  формул    сложения                                                 _____________________________    

       е)понижением   степени     уравнения                                                _______________________________

      ж) введением   вспомогательного   угла                                               _____________________________  

отобрать: 

       з) уравнения, неравенства,  для   решения  которых  требуются,  так  называемые,   специальные   приёмы                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

      и)  уравнения  и  неравенства,   которые     не  попали   под   описание  и  мы    ещё такие   не  решали                                                              

  Изучение   нового  материала.

а)  актуализация    базовых   знаний

а

б

в

г

д

е

ж

з

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   С методом    решения   уравнений  такого типа   нам  надо   познакомиться  и отработать   его.  Для  этого   продолжаем  работать   с  инструкций,  последовательно  отвечая  на  содержащиеся   в  ней  вопросы.      Сначала    попытайтесь   ответить   самостоятельно,  а  затем  обратитесь   к  пункту  11.9*  учебника [ 1].  Работаем   в  парах.  Желаю  успеха! 

к) определить  тип   уравнения,   выяснив   одинаковые   или  разные     функции   и  аргументы  во  всех  заданиях     ______________________________________________                   

л)выявите   комбинации   функций   этих   заданий     ____________________________

м)  освоить     метод  решения    уравнений  такого  типа ________________________

н) сам по себе  метод  «замены»  не  нов.  Но  как   быть  с  комбинацией    sinx  ∙ cosx?

О) обязательно,  научиться    каждому,   находить    выход    из   комбинации   

       2 sinx  ∙ cosx         на          t 2  - 1.

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

1   вариант. Самостоятельная    работа

Решить   уравнение

1. cosx   = -1

2.  sinx   -  cosx  + 4 sinx cosx  =  -1

Решить   неравенство

3.  Sin 2x  +   3 sinx   - 3 cosx  > 3

4. Определить    все   значения    а,  при  каждом   из  которых    имеет   хотя  бы  одно  решение    неравенство    4  3 cosx   ≤ а.

Дополнительно  №11.58* (а)

5.      Решить    уравнение      sin 3 x  + сos3 x  = Sin 2x  +1.

вариант. Самостоятельная    работа

Решить   уравнение

1. cosx   = -1

2.  sinx   -  cosx  + 4 sinx cosx  =  -1

Решить   неравенство

3.  Sin 2x  +   3 sinx   - 3 cosx  > 3

4. Определить    все   значения    а,  при  каждом   из  которых    имеет   хотя  бы  одно  решение    неравенство    3  4 cosx   ≤ а 

Дополнительно  №11.58* (б)   

5.  Решить    уравнение      sin 3 x  - сos3 x  = Sin 2x  - 1.

Ответы     самостоятельной   работы   занести    в  таблицу.

 

задания

1

2

3

4

5

 

 

 

Ответ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hosted by uCoz